Um pouco sobre a matemática.

 Blog realizado como forma de avaliação da matéria de matemática da III unidade, pelo professor Matheus de Souza Oliveira.

Durante o ano  eu tive  muita dificuldade para aprender alguns assuntos ao decorrer de todas as unidades. Na primeira unidade achei difícil mas consegui entender a maioria dos assuntos que uma introdução na matemática que eu nuca tinha visto na minha vida. Durante a segunda unidade, foi muito difícil entender todos os assuntos que o professor passou porque os assuntos eram muito complexos e não deu tempo de realmente aprender, só consegui saber o básico dos assuntos. já na terceira unidade o professor trouxe o dobro de assuntos da segunda, porém, assuntos que não são tão complexos quanto os da segunda unidade mas mesmo assim teve algumas coisas que eu ainda estou meio perdido. Más mesmo com toda essa dificuldade tive experiências incríveis  com a matemática e gostei muito. 

Um pouco sobre a matemática.

  

 

Um pouco sobre a matemática.

Blog realizado como forma de avaliação da matéria de matemática da III unidade, pelo professor Matheus de Souza Oliveira.

FUNÇÕES.

Função injetora.

A função injetora, conhecida também como função injetiva, é um caso particular de função. Para que uma função seja considerada injetora, temos que ter a seguinte ocorrência: dados dois elementos, x1 e x2, pertencentes ao conjunto do domínio, com x1 diferente de x2, as imagens f(x1) e f(x2) são sempre distintas, ou seja, f(x1) ≠ f(x2). Essa função possui características específicas que possibilitam a identificação do seu gráfico e também a análise da lei de formação.

O que é função injetora?

Uma função f: A → B é classificada como injetora se, e somente se, elementos diferentes do conjunto A possuem imagens diferentes no conjunto B, ou seja:

                              

                                     

Exemplo:

Como calcular uma função injetora?

Exemplo 1:

Dada a função f: R → R com a lei de formação f(x) = 3x, verifique se ela é injetora.

Primeiro analisamos o domínio e o contradomínio, que, nesse caso, são o conjunto dos números reais. Analisando a lei de formação, podemos ver que ela pega um número real e gera como imagem o triplo dele. Então, se x1 ≠ x2 nessa função, sabemos que:

f(x1) = 3x1

f(x2) = 3x2

Então, temos que:

f(x1) ≠ f(x2)

Como são dois números distintos, o triplo deles também o será. Então, para quaisquer dois elementos do domínio, a imagem será sempre distinta, o que faz com que essa função seja injetora.

Exemplo 2:

Dada a função f: R → R com lei de formação f(x) = x², verifique se ela é injetora.

Nesse caso, para o domínio e o contradomínio no conjunto dos números reais, a função não é injetora, pois, dado um número a e o seu oposto, ou seja, -a, sabemos que:

f(a) = a²

f(-a) = (-a)² = a²

Então, para dois números distintos, a imagem pode ser a mesma, por exemplo, vejamos f(3) e f(-3):

f(3) = 3² = 9

f(-3) = (-3)² = 9

Note que f(3) = f(-3) possui mesma imagem com 3 ≠ -3, então, essa função não é injetora para esse espaço amostral.

Exemplo 3:

Dada a função f: R+ → R com lei de formação f(x) = x².

Utilizando a mesma lei de formação da função anterior, perceba que agora o domínio são os números reais positivos, e o contradomínio, os números reais. Como os números negativos não estão no nosso domínio, nesse caso, teremos uma função injetora, pois, escolhendo dois números distintos no domínio, a imagem sempre será distinta também.

Gráfico de uma função injetora.

Analisando o gráfico da função, também é possível analisar se ela é ou não injetora para o intervalo representado nele. Sabemos que a função é injetora se valores diferentes do domínio gerarem sempre imagens diferentes, então, vejamos alguns exemplos de gráficos de funções injetoras:

Gráficos de funções injetoras.

Analisando o gráfico, é possível perceber que qualquer valor de y nos gráficos apresentados é imagem de um único valor.

Agora veremos exemplos de gráficos de funções que não são injetoras:

Gráficos de funções não injetoras.

Se traçarmos uma reta paralela ao eixo x, em uma determinada altura y, é possível perceber que y será a imagem de mais de um valor no eixo x, o que faz com que essas funções não sejam injetoras.

Função Sobrejetora.

O que é uma função sobrejetora?

A função sobrejetora, conhecida também como função sobrejetiva, é um caso particular de função. Uma função é classificada como sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio são imagens de um ou mais elementos do domínio, ou seja, quando o conjunto imagem da função é igual ao seu contradomínio.

Exemplos de função sobrejetora.

Exemplo 1:

Sendo f: A → B

Diagrama de uma função sobrejetora.

Note que todos os elementos de B são imagens de um elemento no conjunto A. Logo, o contradomínio é igual à imagem da função.

• Exemplo 2:

As funções polinomiais do 1º grau, conhecidas também como funções afins, com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, são sempre funções sobrejetoras, pois a imagem da função é também igual ao conjunto dos números reais.

Considerando a função afim com lei de formação f(x) = 2x + 1, sabe-se que para qualquer número real y existirá um valor de x tal que f(x) = y.

Exemplos de função não sobrejetora

• Exemplo 1:

Sendo f: A → B

Diagrama de uma função que não é sobrejetora.

Perceba que no contradomínio existe um elemento que não é imagem de nenhum elemento do domínio. Assim, essa função não é sobrejetora, pois o contradomínio não é igual ao conjunto imagem.

Formalmente, dizemos que a função f: A → B é uma função injetora se e somente se

∀ y ϵ B, ∃ x | f(x) = y

Isso quer dizer que para todo y pertencente ao conjunto B existe um x tal que a imagem de x é y.

• Exemplo 2:

As funções quadráticas, conhecidas também como funções polinomiais do 2º grau, não são sobrejetoras, pois seu conjunto imagem não é igual ao contradomínio.

Considerando a função quadrática com lei de formação f(x) = x², sabe-se que para y = -2 não existe nenhum valor real de x tal que f(x) = y, logo essa função não é sobrejetora.

Gráfico de função sobrejetora

Ao analisar o gráfico de uma função, é possível perceber que ela é sobrejetora quando sua imagem é igual ao contradomínio. Vejamos, por exemplo, o gráfico desta reta:

Perceba que todo elemento do eixo y é imagem de um elemento no eixo x, logo essa função é sobrejetora.

Gráfico da função sobrejetora

Podemos analisar graficamente se a função é sobrejetora ou não. Uma função é sobrejetora se todos os valores do eixo y forem correspondentes de pelo menos um valor no eixo x.

Exemplo 1:

A seguir, representaremos o gráfico da função f(x) = x³:

Gráfico de uma função sobrejetora.

Note que todos os elementos de y são correspondentes de pelo menos um elemento de x, logo podemos concluir que nesse intervalo a função é sobrejetora.

Função Bijetora.

O que é uma função bijetora?

A função bijetora, também chamada bijetiva, é um tipo de função matemática que relaciona cada elemento do domínio A, a um elemento diferente no contradomínio B. Além disto, todo elemento do contradomínio B é imagem de A.

Por que é chamada de função bijetora? 

A função bijetora recebe esse nome, pois ela é injetora e sobrejetora.

Na função injetora, todos os elementos do domínio A têm como imagem elementos distintos no contradomínio B.

Já na função sobrejetora, todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.

Exemplos de Funções Bijetoras:

Dada a função f definida pela lei y = 2x – 1, temos:

Cada elemento de A, é transformado em um elemento diferente de B. Da mesma forma, cada elemento de B é imagem de apenas um elemento de A, por isto, dizemos ser uma correspondência biunívoca. Ainda, não há elementos sobrando em B, ou seja, o contradomínio B e a imagem da função são iguais.

Gráfico da Função Bijetora.

Confira abaixo o gráfico de uma função bijetora f(x) = x + 2, onde f: [1; 3] → [3; 5]:

Função com mais de uma sentença. 

O que é função com mais de uma sentença?

Uma função é definida por mais de uma sentença quando cada uma das sentenças está associada à um subdomínio 1,2,3,... e a união destes n-subconjuntos forma o domínio da função original, ou seja, cada domínio é um subconjunto de D.

O que é função definida?

Uma função definida por partes é uma função formada por partes de diferentes funções sobre diferentes intervalos.

Função modular.

O que é uma função modular?

Conhecemos como função modular uma função que possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, ou seja, f: R → R, e que, em sua lei de formação, exista variável que esteja dentro do módulo.

Exemplos:

f(x) = |x|

g(x) = |x – 5|

h(x) = |-x² – 2x + 3|

Gráfico de uma função modular

Para construir o gráfico da função modular, é importante perceber que a função possui comportamento diferente quando o que está dentro do módulo for positivo e quando for negativo.

Exemplo 1:

Começando pelo exemplo mais simples possível de função modular, construiremos o gráfico da função.

f(x) = |x|

Existem duas possibilidades para a função:

Função exponencial.

Definição da função exponencial.

Definimos como função exponencial uma função f: ℝ → ℝ*+, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais, e seu contradomínio é o conjunto dos números reais positivos diferentes de 0. Além disso, a sua lei de formação pode ser descrita por f (x) = ax, em que ‘a’ é a base, cujo valor sempre será um número real positivo.

Exemplos:

f(x) = 2x

f(x) = 0,3x

Podemos observar que f(x) é a variável dependente, podendo ser representada por y também, e x é a variável independente.

Tipos de função exponencial.

Podemos dividir a função exponencial em dois casos: crescente ou decrescente.

O gráfico da função f(x) = ax é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.

A função exponencial é decrescente quando a base é um número maior que 0 e menor que 1, ou seja, quando 0<a<1. Caso ela seja decrescente, quanto maior o valor de x menor será o valor de y.

Função logarítmica.

Definição da função logarítmica.

Definimos a função logarítmica como f: R* + → R, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais não nulos e seu contradomínio são os números reais, tal que a lei de formação pode ser descrita por f(x) = logax,, em que x é a variável e a é a base do logaritmo. Lembrando que, por definição, em um logaritmo a base é positiva e diferente de 1. 

Exemplos:

a) f(x) = log x  → (Quando a base não aparece no logaritmo, seu valor é 10.)

b) f(x) = log0,5 x → (Nesse caso a base é 0,5.)

c) f(x) = log8x  →  (Nesse caso a base é 8.)

Domínio da função logarítmica.

Por definição, o domínio é o conjunto dos números reais positivos, isso acontece porque não é possível calcular-se logaritmos de um número negativo tendo a base positiva, pois um número positivo elevado a qualquer número sempre resultará em um número positivo. Por exemplo, suponha que queiramos calcular o logaritmo a seguir.

Exemplo:

log3 -3 → Não existe nenhum número real que faz com que 3n seja igual a -3.

Gráfico da função logarítmica.

Gráfico de funções logarítmicas.

Para construir o gráfico de uma função logarítmica, é necessário atribuir alguns valores para x e encontrar o valor de f(x) nesses casos. Existem duas possibilidades para esse gráfico, que pode ser  crescente ou decrescente. O que define seu comportamento é o valor da base a.

Seja: f(x) = logax

Se a > 1 → f(x) é crescente;

Se 0 < a < 1 → f(x) é decrescente.

Progressão aritmética.

O que é uma progressão aritmética?

É muito comum trabalharmos com sequências numéricas, ainda que consigamos prever os próximos termos, nem sempre a sequência pode ser classificada como uma progressão aritmética. Para isso, é necessário que exista uma razão e que, com base no primeiro termo, os termos posteriores sejam construídos a partir do termo anterior mais a razão.

Exemplo:

(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23...)

Essa é uma sequência que pode ser classificada como progressão aritmética, pois a razão r = 3 e o primeiro termo é 2.

Classificação de uma progressão aritmética

Além da classificação quanto ao comportamento, uma progressão pode ser finita, quando ela possui uma quantidade limitada de termos, ou infinita, quando ela possui quantidade infinita de termos. Uma progressão pode ser classificada como crescente, decrescente ou constante, e essa classificação depende diretamente do valor da razão r.

Para classificar a P.A., precisamos compreender o cálculo da razão. Dada a sequência, para encontrarmos a razão, basta fazer a subtração de um termo pelo seu antecessor. Quaisquer dois termos consecutivos da P.A. geram a razão, ou seja, a diferença de dois números consecutivos será sempre igual a r.

Crescente.

(-9, -3, 3, 9, 15, 21)

r = 21-15 = 6

Essa é uma P.A. crescente de razão r = 6. Sempre que a razão for positiva, a P.A. será crescente. Note que o segundo termo é maior que o primeiro, o terceiro é maior que o segundo, e assim sucessivamente.

­Constante.

(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

r = 1 – 1 = 0

Essa é uma P.A. constante de razão r = 0. Note que os termos são sempre iguais.

Decrescente.

(10, 8, 6, 4, 2, 0, -2)

r = 8 – 10 = -2

Essa é uma P.A. decrescente, de razão r = - 2. Sempre que a razão for negativa, a progressão será decrescente.

Progressão Geométrica.

O que é uma progressão geométrica?

Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que, após o primeiro termo, os termos posteriores da sequência são construídos a partir da multiplicação de uma razão q pelo termo antecessor.

Exemplo:

- PG de razão 3 em que o primeiro termo é 2.

Os termos da sequência são representados por (a1, a2, a3, a4, a5 …).

a1 = 2

a2 = 2.3 = 6

a3 = 6.3 = 18

a4 = 18.3 = 54

a5 = 54.3 = 162.

A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162...).

Propriedades da PG.

1ª propriedade.

Devido ao comportamento da PG, ela preserva algumas propriedades. A primeira delas é que o produto de termos equidistantes do extremo é sempre igual.

Exemplo:

(2, 8, 32, 128, 512, 2048)

2∙ 2048= 4096

8∙512 = 4096

32 ∙128 = 4096

Quando a PG possui uma quantidade ímpar de termos, há um termo central. Esse termo ao quadrado também é igual ao produto dos termos equidistantes.

Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64)

1∙ 64 = 64

2∙32 = 64

4∙16 = 64

8∙8 = 64

2ª propriedade.

O termo central da PG é também a sua média geométrica.