Um pouco sobre a matemática.

 Blog realizado como forma de avaliação da matéria de matemática da III unidade, pelo professor Matheus de Souza Oliveira.

Durante o ano  eu tive  muita dificuldade para aprender alguns assuntos ao decorrer de todas as unidades. Na primeira unidade achei difícil mas consegui entender a maioria dos assuntos que uma introdução na matemática que eu nuca tinha visto na minha vida. Durante a segunda unidade, foi muito difícil entender todos os assuntos que o professor passou porque os assuntos eram muito complexos e não deu tempo de realmente aprender, só consegui saber o básico dos assuntos. já na terceira unidade o professor trouxe o dobro de assuntos da segunda, porém, assuntos que não são tão complexos quanto os da segunda unidade mas mesmo assim teve algumas coisas que eu ainda estou meio perdido. Más mesmo com toda essa dificuldade tive experiências incríveis  com a matemática e gostei muito. 

Um pouco sobre a matemática.

  

 

Um pouco sobre a matemática.

Blog realizado como forma de avaliação da matéria de matemática da III unidade, pelo professor Matheus de Souza Oliveira.

FUNÇÕES.

Função injetora.

A função injetora, conhecida também como função injetiva, é um caso particular de função. Para que uma função seja considerada injetora, temos que ter a seguinte ocorrência: dados dois elementos, x1 e x2, pertencentes ao conjunto do domínio, com x1 diferente de x2, as imagens f(x1) e f(x2) são sempre distintas, ou seja, f(x1) ≠ f(x2). Essa função possui características específicas que possibilitam a identificação do seu gráfico e também a análise da lei de formação.

O que é função injetora?

Uma função f: A → B é classificada como injetora se, e somente se, elementos diferentes do conjunto A possuem imagens diferentes no conjunto B, ou seja:

                              

                                     

Exemplo:

Como calcular uma função injetora?

Exemplo 1:

Dada a função f: R → R com a lei de formação f(x) = 3x, verifique se ela é injetora.

Primeiro analisamos o domínio e o contradomínio, que, nesse caso, são o conjunto dos números reais. Analisando a lei de formação, podemos ver que ela pega um número real e gera como imagem o triplo dele. Então, se x1 ≠ x2 nessa função, sabemos que:

f(x1) = 3x1

f(x2) = 3x2

Então, temos que:

f(x1) ≠ f(x2)

Como são dois números distintos, o triplo deles também o será. Então, para quaisquer dois elementos do domínio, a imagem será sempre distinta, o que faz com que essa função seja injetora.

Exemplo 2:

Dada a função f: R → R com lei de formação f(x) = x², verifique se ela é injetora.

Nesse caso, para o domínio e o contradomínio no conjunto dos números reais, a função não é injetora, pois, dado um número a e o seu oposto, ou seja, -a, sabemos que:

f(a) = a²

f(-a) = (-a)² = a²

Então, para dois números distintos, a imagem pode ser a mesma, por exemplo, vejamos f(3) e f(-3):

f(3) = 3² = 9

f(-3) = (-3)² = 9

Note que f(3) = f(-3) possui mesma imagem com 3 ≠ -3, então, essa função não é injetora para esse espaço amostral.

Exemplo 3:

Dada a função f: R+ → R com lei de formação f(x) = x².

Utilizando a mesma lei de formação da função anterior, perceba que agora o domínio são os números reais positivos, e o contradomínio, os números reais. Como os números negativos não estão no nosso domínio, nesse caso, teremos uma função injetora, pois, escolhendo dois números distintos no domínio, a imagem sempre será distinta também.

Gráfico de uma função injetora.

Analisando o gráfico da função, também é possível analisar se ela é ou não injetora para o intervalo representado nele. Sabemos que a função é injetora se valores diferentes do domínio gerarem sempre imagens diferentes, então, vejamos alguns exemplos de gráficos de funções injetoras:

Gráficos de funções injetoras.

Analisando o gráfico, é possível perceber que qualquer valor de y nos gráficos apresentados é imagem de um único valor.

Agora veremos exemplos de gráficos de funções que não são injetoras:

Gráficos de funções não injetoras.

Se traçarmos uma reta paralela ao eixo x, em uma determinada altura y, é possível perceber que y será a imagem de mais de um valor no eixo x, o que faz com que essas funções não sejam injetoras.

Função Sobrejetora.

O que é uma função sobrejetora?

A função sobrejetora, conhecida também como função sobrejetiva, é um caso particular de função. Uma função é classificada como sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio são imagens de um ou mais elementos do domínio, ou seja, quando o conjunto imagem da função é igual ao seu contradomínio.

Exemplos de função sobrejetora.

Exemplo 1:

Sendo f: A → B

Diagrama de uma função sobrejetora.

Note que todos os elementos de B são imagens de um elemento no conjunto A. Logo, o contradomínio é igual à imagem da função.

• Exemplo 2:

As funções polinomiais do 1º grau, conhecidas também como funções afins, com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, são sempre funções sobrejetoras, pois a imagem da função é também igual ao conjunto dos números reais.

Considerando a função afim com lei de formação f(x) = 2x + 1, sabe-se que para qualquer número real y existirá um valor de x tal que f(x) = y.

Exemplos de função não sobrejetora

• Exemplo 1:

Sendo f: A → B

Diagrama de uma função que não é sobrejetora.

Perceba que no contradomínio existe um elemento que não é imagem de nenhum elemento do domínio. Assim, essa função não é sobrejetora, pois o contradomínio não é igual ao conjunto imagem.

Formalmente, dizemos que a função f: A → B é uma função injetora se e somente se

∀ y ϵ B, ∃ x | f(x) = y

Isso quer dizer que para todo y pertencente ao conjunto B existe um x tal que a imagem de x é y.

• Exemplo 2:

As funções quadráticas, conhecidas também como funções polinomiais do 2º grau, não são sobrejetoras, pois seu conjunto imagem não é igual ao contradomínio.

Considerando a função quadrática com lei de formação f(x) = x², sabe-se que para y = -2 não existe nenhum valor real de x tal que f(x) = y, logo essa função não é sobrejetora.

Gráfico de função sobrejetora

Ao analisar o gráfico de uma função, é possível perceber que ela é sobrejetora quando sua imagem é igual ao contradomínio. Vejamos, por exemplo, o gráfico desta reta:

Perceba que todo elemento do eixo y é imagem de um elemento no eixo x, logo essa função é sobrejetora.

Gráfico da função sobrejetora

Podemos analisar graficamente se a função é sobrejetora ou não. Uma função é sobrejetora se todos os valores do eixo y forem correspondentes de pelo menos um valor no eixo x.

Exemplo 1:

A seguir, representaremos o gráfico da função f(x) = x³:

Gráfico de uma função sobrejetora.

Note que todos os elementos de y são correspondentes de pelo menos um elemento de x, logo podemos concluir que nesse intervalo a função é sobrejetora.

Função Bijetora.

O que é uma função bijetora?

A função bijetora, também chamada bijetiva, é um tipo de função matemática que relaciona cada elemento do domínio A, a um elemento diferente no contradomínio B. Além disto, todo elemento do contradomínio B é imagem de A.

Por que é chamada de função bijetora? 

A função bijetora recebe esse nome, pois ela é injetora e sobrejetora.

Na função injetora, todos os elementos do domínio A têm como imagem elementos distintos no contradomínio B.

Já na função sobrejetora, todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.

Exemplos de Funções Bijetoras:

Dada a função f definida pela lei y = 2x – 1, temos:

Cada elemento de A, é transformado em um elemento diferente de B. Da mesma forma, cada elemento de B é imagem de apenas um elemento de A, por isto, dizemos ser uma correspondência biunívoca. Ainda, não há elementos sobrando em B, ou seja, o contradomínio B e a imagem da função são iguais.

Gráfico da Função Bijetora.

Confira abaixo o gráfico de uma função bijetora f(x) = x + 2, onde f: [1; 3] → [3; 5]:

Função com mais de uma sentença. 

O que é função com mais de uma sentença?

Uma função é definida por mais de uma sentença quando cada uma das sentenças está associada à um subdomínio 1,2,3,... e a união destes n-subconjuntos forma o domínio da função original, ou seja, cada domínio é um subconjunto de D.

O que é função definida?

Uma função definida por partes é uma função formada por partes de diferentes funções sobre diferentes intervalos.

Função modular.

O que é uma função modular?

Conhecemos como função modular uma função que possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, ou seja, f: R → R, e que, em sua lei de formação, exista variável que esteja dentro do módulo.

Exemplos:

f(x) = |x|

g(x) = |x – 5|

h(x) = |-x² – 2x + 3|

Gráfico de uma função modular

Para construir o gráfico da função modular, é importante perceber que a função possui comportamento diferente quando o que está dentro do módulo for positivo e quando for negativo.

Exemplo 1:

Começando pelo exemplo mais simples possível de função modular, construiremos o gráfico da função.

f(x) = |x|

Existem duas possibilidades para a função:

Função exponencial.

Definição da função exponencial.

Definimos como função exponencial uma função f: ℝ → ℝ*+, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais, e seu contradomínio é o conjunto dos números reais positivos diferentes de 0. Além disso, a sua lei de formação pode ser descrita por f (x) = ax, em que ‘a’ é a base, cujo valor sempre será um número real positivo.

Exemplos:

f(x) = 2x

f(x) = 0,3x

Podemos observar que f(x) é a variável dependente, podendo ser representada por y também, e x é a variável independente.

Tipos de função exponencial.

Podemos dividir a função exponencial em dois casos: crescente ou decrescente.

O gráfico da função f(x) = ax é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.

A função exponencial é decrescente quando a base é um número maior que 0 e menor que 1, ou seja, quando 0<a<1. Caso ela seja decrescente, quanto maior o valor de x menor será o valor de y.

Função logarítmica.

Definição da função logarítmica.

Definimos a função logarítmica como f: R* + → R, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais não nulos e seu contradomínio são os números reais, tal que a lei de formação pode ser descrita por f(x) = logax,, em que x é a variável e a é a base do logaritmo. Lembrando que, por definição, em um logaritmo a base é positiva e diferente de 1. 

Exemplos:

a) f(x) = log x  → (Quando a base não aparece no logaritmo, seu valor é 10.)

b) f(x) = log0,5 x → (Nesse caso a base é 0,5.)

c) f(x) = log8x  →  (Nesse caso a base é 8.)

Domínio da função logarítmica.

Por definição, o domínio é o conjunto dos números reais positivos, isso acontece porque não é possível calcular-se logaritmos de um número negativo tendo a base positiva, pois um número positivo elevado a qualquer número sempre resultará em um número positivo. Por exemplo, suponha que queiramos calcular o logaritmo a seguir.

Exemplo:

log3 -3 → Não existe nenhum número real que faz com que 3n seja igual a -3.

Gráfico da função logarítmica.

Gráfico de funções logarítmicas.

Para construir o gráfico de uma função logarítmica, é necessário atribuir alguns valores para x e encontrar o valor de f(x) nesses casos. Existem duas possibilidades para esse gráfico, que pode ser  crescente ou decrescente. O que define seu comportamento é o valor da base a.

Seja: f(x) = logax

Se a > 1 → f(x) é crescente;

Se 0 < a < 1 → f(x) é decrescente.

Progressão aritmética.

O que é uma progressão aritmética?

É muito comum trabalharmos com sequências numéricas, ainda que consigamos prever os próximos termos, nem sempre a sequência pode ser classificada como uma progressão aritmética. Para isso, é necessário que exista uma razão e que, com base no primeiro termo, os termos posteriores sejam construídos a partir do termo anterior mais a razão.

Exemplo:

(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23...)

Essa é uma sequência que pode ser classificada como progressão aritmética, pois a razão r = 3 e o primeiro termo é 2.

Classificação de uma progressão aritmética

Além da classificação quanto ao comportamento, uma progressão pode ser finita, quando ela possui uma quantidade limitada de termos, ou infinita, quando ela possui quantidade infinita de termos. Uma progressão pode ser classificada como crescente, decrescente ou constante, e essa classificação depende diretamente do valor da razão r.

Para classificar a P.A., precisamos compreender o cálculo da razão. Dada a sequência, para encontrarmos a razão, basta fazer a subtração de um termo pelo seu antecessor. Quaisquer dois termos consecutivos da P.A. geram a razão, ou seja, a diferença de dois números consecutivos será sempre igual a r.

Crescente.

(-9, -3, 3, 9, 15, 21)

r = 21-15 = 6

Essa é uma P.A. crescente de razão r = 6. Sempre que a razão for positiva, a P.A. será crescente. Note que o segundo termo é maior que o primeiro, o terceiro é maior que o segundo, e assim sucessivamente.

­Constante.

(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

r = 1 – 1 = 0

Essa é uma P.A. constante de razão r = 0. Note que os termos são sempre iguais.

Decrescente.

(10, 8, 6, 4, 2, 0, -2)

r = 8 – 10 = -2

Essa é uma P.A. decrescente, de razão r = - 2. Sempre que a razão for negativa, a progressão será decrescente.

Progressão Geométrica.

O que é uma progressão geométrica?

Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que, após o primeiro termo, os termos posteriores da sequência são construídos a partir da multiplicação de uma razão q pelo termo antecessor.

Exemplo:

- PG de razão 3 em que o primeiro termo é 2.

Os termos da sequência são representados por (a1, a2, a3, a4, a5 …).

a1 = 2

a2 = 2.3 = 6

a3 = 6.3 = 18

a4 = 18.3 = 54

a5 = 54.3 = 162.

A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162...).

Propriedades da PG.

1ª propriedade.

Devido ao comportamento da PG, ela preserva algumas propriedades. A primeira delas é que o produto de termos equidistantes do extremo é sempre igual.

Exemplo:

(2, 8, 32, 128, 512, 2048)

2∙ 2048= 4096

8∙512 = 4096

32 ∙128 = 4096

Quando a PG possui uma quantidade ímpar de termos, há um termo central. Esse termo ao quadrado também é igual ao produto dos termos equidistantes.

Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64)

1∙ 64 = 64

2∙32 = 64

4∙16 = 64

8∙8 = 64

2ª propriedade.

O termo central da PG é também a sua média geométrica.

Um pouco sobre a matemática.

Aluno: Clédison Alves da Silva Júnior                        Turma: 20221.1.18.1v

Blog realizado como forma de avaliação da matéria de matemática da III unidade, pelo professor Matheus de Souza Oliveira.

FUNÇÃO AFIM.

Uma função f:R→R é uma função afim quando existem dois números reais a e b tais que satisfaçam a seguinte condição, ∀x∈R e b≠0 temos:

y=f(x)=ax+b

Onde:

• a é o coeficiente angular do gráfico de f
• b é o coeficiente linear, ou o ponto de intersecção com o eixo y
• x é a variável independente.

Podemos determinar o valor de a pela tangente do ângulo α formado pela interseção do gráfico da função com o eixo x, ou seja:

tgα=a

Basicamente, o gráfico de uma função afim será sempre uma reta. Os fatores que vão determinar a sua posição no plano são os coeficientes linear e angular, particulares de cada função. Vamos apresentar alguns problemas que envolvem funções afim:

Exemplo, Supondo que você é um vendedor, cujo salário mensal é de R$ 2.000,00. Porém, a cada produto vendido você ganha uma comissão de 5%, ou 0,05 vezes o valor do produto. A função que descreverá, em função do valor vendido durante o mês é do tipo afim, e será descrita pela lei:

f(x) = 0,05x + 2000

FUNÇÃO INDENTIDADE.

Seja uma função f:R→R definida por f(x) = x. Então, neste caso se a = 1 e b = 0, o gráfico de uma função identidade é chamada de bissetriz dos quadrantes impares, que passam pelo 1º e 3º quadrante e na origem do eixo cartesiano (0, 0).

FUNÇÃO CONSTANTE.

Uma função f:R→R é dita constante quando f(x) = b, logo a = 0. Seu gráfico será sempre uma reta paralela ao eixo x e que intercepta o eixo y num ponto b.

Por exemplo, seja a função f(x) = 2, o seu gráfico será:

FUNÇÃO LINEAR. 

Uma função f:R→R é dita constante quando f(x) = ax, logo b = 0. Seu gráfico será sempre uma reta paralela que intercepta a origem do eixo cartesiano. Por exemplo, a função f(x) = 2x terá a sua representação gráfica dada por:

Uma função  quando f(x) = ax, logo b = 0. Seu gráfico será sempre uma reta paralela que intercepta a origem do eixo cartesiano. Por exemplo, a função f(x) = 2x terá a sua representação gráfica dada por:

EXEMPLO DE FUNÇÃO LINEAR.

f(x) = – 2x

Essa também é uma função linear, pois seus coeficientes são a = – 2 e b = 0. Podemos ainda dizer que essa função é decrescente, uma vez que a < 0.

TRANSLAÇÃO DA FUNÇÃO INDENTIDADE.

Se tomarmos a função identidade e acrescentarmos à ela um coeficiente linear e mantendo o seu coeficiente angular igual a 1, ocorrerá a translação da reta. A função será definida por f(x) = x+b sendo a = 1 e b≠0. Por exemplo, f(x)= x-3:

FUNÇAO POLINOMINAL DO 1º GRAU.

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

GRÁFICO.

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a)    Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1)..
b)    Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,  e outro ponto é 

Marcamos os pontos (0, -1) e  no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

                                     

x	y
0	-1
	0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

FUNÇÃO QUADRÁTICA.

Uma função quadrática é uma função da forma f(x) = a x2 + b x + conde a, b e c são números reais a 0.

O GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA.

Entre as equações quadráticas a mais simples é f(x) = x2. O seu gráfico servirá como base para construirmos os gráficos de outras equações quadráticas.

Inicialmente, apresenta-se uma simetria. Temos:

f(-2) = f(2) = 4

f(-1) = f(1) = 1

De um modo geral,

f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)

isto é, para todo x temos

f(-x) = f(x)

x	y = x2	(x; y)
-3	9	(-3; 9)
-2	4	(-2; 4)
-1	1	(-1; 1)
0	0	(0; 0)
1	1	(1; 1)
2	4	(2; 4)
3	9	(3; 9)

                                    

                                                              

OBSERVAÇÃO.

A curva obtida se chama parábola e toda equação quadrática y = a x2 + b x + c tem uma parábola como gráfico. O domínio da função é o conjunto dos números reais e seu conjunto imagem depende dos valores de a, b e c. Para a função f(x) = x2 o conjunto imagem é constituído por todos y  0.

Uma propriedade importante dessa parábola é que ela é simétrica em relação a uma reta vertical que se chama eixo de simetria. O gráfico da equação y = x2 é simétrico em relação ao eixo-y. Essa simetria deve-se ao fato de que f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) e que, portanto, a função é par.

A parábola tem um ponto de retorno, que se chama vértice. O vértice é a intersecção da parábola com o eixo de simetria.

No gráfico da equação y = x2 o vértice tem coordenadas (0; 0) e o valor mínimo da função é 0.

Note que, avançando da esquerda para a direita, a curva "desce" até a origem e depois "sobe". Dizemos que f é decrescente e que f é crescente.

f(x) = x2 é decrescente para x  0 Se x1 < x2, então f(x1) > f(x2)	f(x) = x2 é crescente para x  0 Se x1 < x2 , então f(x1) < f (x2)

FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE.

 f é crescente sobre o intervalo I se f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2, em I

f é decrescente sobre o intervalo I se f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2, em I

Exemplo.

Para a função f cujo gráfico está na figura, temos:

intervalo	crescimento/decrescimento
x  - 2 -2  x  2 x  2	f decresce f cresce f decresce

Podemos usar o gráfico da equação y = x2 para construirmos os gráficos de outras funções quadráticas. Por exemplo, os gráficos das funções y = x2 + 1 e y = x2 - 1 podem ser obtidos do gráfico da equação y = x2 por translações verticais desse gráfico.

O gráfico de y = x2 + 1 é obtido deslocando o gráfico de y = x2 + 1 unidade para cima.

O gráfico de y = x2 -1 é obtido deslocando o gráfico de y = x2 1 unidade para baixo.

Também, podemos construir os gráficos das funções y = (x - 1)2 e y = (x + 1)2 a partir do gráfico de y = x2, fazendo translações horizontais desse gráfico.

O gráfico de y = (x - 1)2 é obtido deslocando o gráfico de y = x2 1 unidade para direita. O vértice está em (1;0) e o eixo de simetria é a reta x = 1.

O gráfico de y = (x + 1)2 é obtido deslocando o gráfico de y = x2  uma unidade para a esquerda. O vértice está em (-1;0) e o eixo de simetria é a reta x = - 1.

Nos gráficos que construímos até aqui, o coeficiente de x2 é 1. Se o coeficiente é -1, o efeito sobre o gráfico é uma reflexão em relação ao eixo-x.

Então, para a função y = - x2 o domínio continua sendo o conjunto dos números reais, mas o conjunto imagem é o conjunto dos números reais y tais que y  0.

O vértice está em (0; 0) e 0 é valor máximo da função.

x	y = - x2	(x; y)
-3	-9	(-3; -9)
-2	-4	(-2; -4)
-1	-1	(-1; -1)
0	0	(0; 0)
1	-1	(1; -1)
2	-4	(2; -4)
3	-9	(3; -9)

O gráfico de y = - x2 é obtido por reflexão do gráfico de y = x2 em torno do eixo-x.

Vimos que o gráfico de y = x2 tem um ponto de retorno no vértice; ele se dobra "para cima". Dizemos que a curva tem concavidade para cima. O gráfico de y = - x2 se dobra para baixo; dizemos que a curva tem concavidade para baixo.

Quando o coeficiente a em y = a x2 é diferente de 1, o gráfico dessa função pode ser obtido multiplicando a ordenada y, dos pontos de y = x2, pelo número a, como nos exemplos abaixo.

Cada ordenada é a metade da ordenada do gráfico de y = x2.

Cada ordenada é o dobro da ordenada do gráfico de y = x2.

Note que o gráfico de y = 2 x2 está "mais levantado" em relação ao gráfico de y = x2; o gráfico de y = 2 x2 "se afasta" do eixo-x. O gráfico de y =  x2 "se aproxima" do eixo-x.

Exercícios.

1. Desenhar o gráfico da função y = - x2 + 3. Dizer onde a função é crescente ou decrescente. Qual é o conjunto-imagem da função?

Resolução

Partimos do gráfico de y = - x2; deslocando-o de 3 unidades "para cima", obtemos o gráfico de y = - x2 + 3.

A função y = - x2 + 3 é crescente para x ≤ 0 e é decrescente para x ≥ 0. Seu conjunto-imagem é constituído por todos y tais que y ≤ 3.

2.  Desenhar o gráfico da função y = f(x) = (x + 2)2 - 2.

Resolução

Partimos do gráfico da função y = x2. Deslocando-o "para a esquerda" de 2 unidades, obtemos o gráfico de y = (x + 2)2; depois, deslocando-o "para baixo" de 2 unidades, obtemos o gráfico de y = f(x) = (x + 2)2 - 2.

Note que o conjunto-imagem da função f é constituído por todos y tais que y  -2.

3. Desenhar o gráfico da parábola y = 2 (x - 2)2 + 1.

Resolução

Começamos com o gráfico de y = 2 x2; deslocando-o 2 unidades "para a direita", obtemos o gráfico de y = 2 (x - 2)2.

Então, deslocando-o 1 unidade "para cima" obtemos o gráfico de y = 2 (x - 2)2 = 1.

RAÍZES.

Para encontrar as raízes da função quadrática, conhecidas também como zero da função, é necessário o domínio das equações do segundo grau. Para resolver uma equação do segundo grau, há vários métodos, como a fórmula de Bhaskara e a soma e produto.

A raízes de uma função quadrática são os valores de x que fazem com que f(x) = 0. Sendo assim, para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, faremos ax² + bx + c = 0.

Exemplo:

f(x) = x² +2x – 3

a = 1

b = 2

c = –3

Δ =b² – 4ac

Δ=2² – 4 ·1·(-3)

Δ=4 +12

Δ = 16

Então, os zeros da função são {1, -3}.

O valor do delta nos permite saber quantos zeros a função quadrática vai ter. Podemos separar em três casos:

• Δ > 0 → a função possui duas raízes reais distintas;
• Δ = 0 → a função possui uma única raiz real;
• Δ < 0 → a função não possui raiz real.

VÉRTICE.

O vértice da parábola corresponde ao ponto em que o gráfico de uma função do 2º grau muda de sentido. A função do segundo grau, também chamada de quadrática, é a função do tipo f(x) = ax2 + bx + c.

Usando um plano cartesiano, podemos traçar o gráfico de uma função quadrática considerando os pontos de coordenadas (x,y) que pertencem a função.

Na imagem abaixo, temos o gráfico da função f(x) = x2 - 2x - 1 e o ponto que representa seu vértice.

GRÁFICO DO GEOGEBRA.

Função Linear: observei que aparece no gráfico é uma função de cor verde, observo um ponto no eixo y, estão localizados na posição (0,1) onde, essa função é crescente pois a medida que o valor de x cresce o valor de y também cresce.

Função Quadrática: Uma parábola, Função Quadrática, Quando a é positivo, a parábola fica para cima. Quando a é negativo, a parábola fica para baixo. O gráfico vira uma reta coincidente ao eixo x, Quando a cresce, ele fecha, e quando a desce, ele abre, 1 (× ^ prime =B), 1 (x^ prime = B = V ). Quando a se aproxima de zero, o gráfico abre, quando a se afasta de zero, o gráfico fecha.